所有的分析学的学习流程是相似的，即定义极限，在极限的基础上定义导数、可微性。另一方面定义定积分，在定积分的基础上定义不定积分，最后是统一积分和微分。在分析学中，级数也是很重要的部分，用函数列来表示或定义函数，有利于我们深刻地认识一些非初等函数。为了学习复变函数论中的级数理论，将其与数学分析中级数理论比较，现在考虑数学分析中函数项级数一致收敛的问题。函数列的收敛是有条件的，即在某个数域收敛。为什么要关注一致收敛？因为对于条件更弱的点态收敛，好的性质比较少，而对于一致收敛，求和与求积，求和与求导，求和与取极限都可以交换。
一致收敛比点态收敛的条件更严苛，正整数N的值只依赖于ε而不依赖于x。关于一致收敛，柯西准则是重要的定理。
下面的定理可以更形象地体现函数列一致收敛。
前面说的是函数列的一致收敛，现在通过函数列的一致收敛定义函数项级数的一致收敛。
由前面函数列的一致收敛的柯西准则，可以直接写出函数项级数的一致收敛准则。
同样的，对于函数项级数，有类似定理2的定理。
下面是由三个数学家名字命名的三种判定函数项级数一致收敛的方法。
后面的两个判定法需要用到数项级数中的阿贝尔引理。
可以看到在这个证明中 ｛v(x)｝就是阿贝尔引理中的单调数组。
有很多函数可以拆分成几种函数的积，阿贝尔判别法和狄利克雷判别法可以根据拆分后的函数的特点，来判断函数项级数的一致收敛性。